Тема урока. Числовые последовательности
1. Рассмотрим четыре функции:
1) у = х2, х 
[0; 1]; 3) у = х2;
2) у = х2, х [0; +∞); 4) у = х2,
х N.
Они заданы одной и той же формулой у = х2,
но области определения функций различны.
В третьем случае D(f) = (–∞; +∞), в
четвертом случае область определения – множество N натуральных чисел D(f)
= N.
Графики этих функций изображены на рис. 121–124 (с.
137 учебника).
График четвертой функции состоит из отдельных точек.
2.
Прочитать по учебнику на с. 112 две задачи из учебника «Алгебра–7» и сделать
вывод, что функции, заданные на множестве натуральных чисел (у = f(x),
x N),
нужно изучать.
3.
Математики как-то задумались: зачем писать у = f(x), x N,
не проще ли в таких случаях писать у = f(n), договорившись раз и
навсегда подразумевать в этой записи, что аргумента n – натуральное
число (n N).
Так и сделали: например, вместо записи у = х2,
х N,
решили использовать запись у = n2.
И еще об одном обстоятельстве они договорились: вместо f(1)
писать
у1,
вместо f(2) – у2, вместо f(3) – у3 и т. д.; вместо f(n) – yn.
Значения функции у = f(n) можно
записать последовательно одно за другим: f(1); f(2); f(3),
…, f(n), … или же y1, y2,
y3,
…, yn,
… Например, для функции у = n2 имеем: у1 = 1; у2 = 4; у3 = 9;… Полученные значения можно записать
последовательно одно за другим: 1; 4; 9; 16; … n2,
…
Число 1 в этой записи находится на первом месте, 4 –
на втором, 9 – на третьем, 16 – на четвертом, а n2 – на n-ом месте.
4.
Подчеркнем еще раз, что три математические модели:
1) у = f(x), х N;
2) у = f(n);
3) f(1), f(2), f(3), …, f(n),
… или y1,
y2,
y3,
…, yn,
…
(уn = f(n)) – различны
по форме, но одинаковы по содержанию.
5.
О п р е д е л е н и е 1. Функцию вида у
= f(x), x N,
называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью
и обозначают у = f(n) или y1,
y2,
y3,
…, yn,
… .
6.
Значения y1, y2, y3 (и т. д.) называют соответственно первым,
вторым, третьим (и т. д.) членами последовательности.
В символе уn число n называют индексом,
который характеризует порядковый номер того или иного члена последовательности
(уn).
7.
Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно
важны три: аналитический, словесный и рекуррентный.
8.
Аналитическое задание числовой последовательности:
Говорят, что последовательность задана аналитически,
если указана формула ее n-го члена уn = f(n).
Рассмотреть примеры 1–10 на с. 139–142 учебника.
III. Закрепление
изученного материала.
1. Решить № 15.1 устно.
2.
Решить № 15.4 в тетрадях.
3.
Решить № 15.10 и 15.11 устно.
4.
Решить № 15.12 (в; г) и 15.13 (в; г) в тетрадях.
5.
Решить № 15.15 (в; г).
О т в е т: в) уn = n + 5; г) уn = – n.
6.
Решить № 15.16 (в; г).
О т в е т: уn = 2n + 2; г) уn = 4n.
7.
Решить № 15.17 (в; г).
О т в е т: в) уn = n2 + 1; г) уn = n3.
8.
Решить № 15.38 (а; в).
Построить графики функций и у = х2 – 4.
График
состоит из точек прямой с абсциссами х = 1; х = 2; х = 3 и
т. д.
График состоит из точек параболы с абсциссами х =
1; х = 2 и т. д.
Домашнее задание: изучить
материал на с. 136–142 учебника; решить № 15.12 (а; б); № 15.13 (а; б); № 15.15
(а; б); № 15.16 (а; б); № 15.17 (а; б); № 15.38 (б; г).
